Կրկնության խնդիրներ

1) Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 50 է, իսկ սրունքին տարված բարձրությունը՝ 30: Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը։

AB = BC
AC = 50սմ
AD = 30սմ
AD ուղղահայաց BC
_________________
Sina = ?
Cosa = ?
Tga = ?

Δ ADC-ից
DC = √AC² – AD² = √2500 – 900 = √1600 = 40

Sina = DC/AC = 40/50 = 4/5
Cosa = AD/AC = 30/50 = 3/5
Tga = Sina/cosa = DC/AC : AB/AC = 4/5 : 3/5 = 4/3
Պատ․` Sina = 4/5,
Cosa = 3/5,
Tga = 4/3:

2) Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 20 է, իսկ հիմքը՝ 8 : Գտնել հիմքին տարված բարձրությունը։

P_ABC = 20
AB = BC
AC = 8
________
BK = ?

P_ABC = AB + BC + AC
20 = 2AB = 8
2AB = 20 – 8
2AB = 12
AB = 12 : 2 = 6
AB = BC = 6

AK = KC = AC : 2 = 8 : 2 = 4
Δ AKB-ից
BK = √AB² – AK² = √36 – 16 = √20
Պատ․` √20:

3) Ըստ նախորդ խնդրի տվյալների գտնել հիմքին առընթեր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը։

P_ABC = 20
AC = 8
_________
Sina = ?
Cosa = ?
Tga = ?

Sina = BK/AB = √20/6 = 2√5/6 = √5/3
Cosa = AK/AB = 4/6 = 2/3
Tga = √5/3 = : 2/3 = √5/3 · 2/3 = √5 · 3/3 · 2 = √5/2
Պատ․` Sina = √5/3,
Cosa = 2/3,
Tga = √5/2:

4) Ուղղանկյան անկյունագիծը 10 է և մեծ կողմի հետ կազմում է 30^O անկյուն։ Գտնել ուղղանկյան:

ա)կողմերը

AC = 10
< CAD = 30^o
__________
AC = CD = ?
S_ABCD = ?
BC = AD = ?

Δ ADC-ից

30^o-ի դիմացի էջ CD = AC/2
CD = 10/2 = 5 = AB
Δ ABC-ից AC² = AD² + CD²
AD² = AC² – CD²
AD² = 10² – 5² = 100 – 25 = 75 = 25 · 3
AD = √25 · 3 = 5√3 = BC

S_ABCD = AB · AD = 5 · 5√3 = 25√3
Պատ․` AB = CD = 5
BC = AD = 5√3
S = 25√3

բ)մակերեսը
AC = 10
< CAD = 30^o
__________
AC = CD = ?
S_ABCD = ?
BC = AD = ?

Δ ADC-ից

30^o-ի դիմացի էջ CD = AC/2
CD = 10/2 = 5 = AB
Δ ABC-ից AC² = AD² + CD²
AD² = AC² – CD²
AD² = 10² – 5² = 100 – 25 = 75 = 25 · 3
AD = √25 · 3 = 5√3 = BC

բ)մակերեսը

S_ABCD = AB · AD = 5 · 5√3 = 25√3
Պատ․` AB = CD = 5
BC = AD = 5√3
S = 25√3

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը

Տրված է ABCD զուգահեռագիծը
<A = 48^o
<ABD = 90^o
BD ուղղահայաց է
AD = 12սմ
_________
S = ?

Δ ABD-ից sin48^o = BD/AD
cos48^o = AB/AD

S = BD · AB

BD = AD · sin48^o
AB = AD · cos48^o

S = AD · sin48^o · AD · cos48^o = 12 · sin48^o · 12 · cos48^o = 144 · sin48^o · cos48^o

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը

<K = α
<B = 180^o – 90^o – α
<B = 90^o – α

sinα = AB/KB

AB = BK · sinα = 24 · sin35^o
AC = BK · cosα = 24 · cos35^o

<B = 55^o
AB = 14սմ
AK = 20սմ
Պատ․` 20սմ:

AB = CD = B
<A = <C – α
___________
BH = ?

Δ AHB-ից BH = AB · sinα
BH = B · sinα

Պյութագորասի թեորեմը

ա) 6, 8, 10.
a = 6, b = 8, c = 10
a² + b² = c²
6² + 8² = 10²
36 + 64 = 100 Այո, ուղղանկյուն եռանկյուն է։

բ) 5, 6, 7,
a = 5, b = 6, c = 7
a² + b² = c²
5² + 6² = 7²
25 + 36 = 49 ուղղանկյուն եռանկյուն չէ:

գ) 9, 12, 15
a = 9, b = 12, c = 15
a² + b² = c²
9² + 12² = 15²
81 + 144 = 225 Այո, ուղղանկյուն եռանկյուն է։

դ) 10, 24, 26
a = 10, b = 24, c = 26
a² + b² = c²
10² + 24² = 26²
100 + 576 = 676 Այո, ուղղանկյուն եռանկյուն է։

ե) 3, 4, 6
a = 3, b = 4, c = 6
a² + b² = c²
3² + 4² = 6²
9 + 16 = 36 ուղղանկյուն եռանկյուն չէ:

զ) 11, 9, 13
a = 11, b = 9, c = 13
a² + b² = c²
11² + 9² = 13²
121 + 81 = 169 ուղղանկյուն եռանկյուն չէ:

է) 15, 20, 25
a = 15, b = 20, c = 25
a² + b² = c²
15² + 20² = 25²
225 + 400 = 625 Այո, ուղղանկյուն եռանկյուն է։

ա) <A = 90^o
<B = <C = 45^o
որովհետև 1 = 1
2 կողմերը = են, ուրեմն
հավասարասրում ուղղանկյուն եռանկյուն։

բ) <A = 90^o
<B = <C = 45^o

AB = BC/2 = 2/2 = 1
30^օ-ի դիմացի անկյան հատկությունը
ուրեմն <C = 30^օ

<A + <B + <C = 180^օ
90^օ + <B + 30^օ = 180^օ
<B = 180^օ – 90^օ – 30^օ
<B = 60^օ

Պյութագորասի թեորեմը

AC = 24 սմ
BD = 10 սմ
—————
AB = BC = CD = AD = ?
S = ?

S_ABC = AC · BO/2

S_ADC = AC · OD/2

S = S_ABC + S_ADC = AC/2 (BO + OD) = AC · BD/2

S_ABCD = 24 · 10/2 = 240/2 = 120

Δ ABO-ից ըստ Պյութագորասի
AO² + BO² = AB²
144 + 25 = AB²
AB² = 169
AB = √169 = 13
AB = BC = CD = AD = 13 սմ

ա) AB = 10
BC = DA = 13 սմ
CD = 20
——————
S = ?

S = CD + AB/2 · AK

Δ AKD-ից Ak = √AD² – DK²
DK = CD – KM/2 = 20 – 10/2 = 5 սմ
AK = √169 – 25 = √144 = 12

S = 20 + 10/2 · 12 = 180 սմ²

Պատ.` 180 սմ²:

բ) Δ BMC-ից MC = BC/2 30^o-ի
դիմացի կողն MC = 8/2 = 4

BMC-ից BM = √8² – 4² = √64 – 16 = √48 = 4√3 = AK
AB = KM = 8 սմ, MC = 4 = DK

S = AB + CB/2 · BM
S = 8 + (4 + 4 + 8)/2 · 4√3 = 8 + 16/2 · 4√3 = 48√3

Պատ․` 48√3:

գ) <C = <D = 45^o
AB = 6 սմ
BC = 9√2
——————
S = ?

BK = KC որպես հավասարասրում ուղղանկյուն եռանկյուն

Δ BKC-ից BK² + KC² = BC²
2BK² = 81 · 2
BK² = 81

CD = 9 սմ = 6 սմ = 24 սմ
S = AB + CD/2 · BK
S = 6 + 24/2 · 9 = 30 · 4,5 = 135

Պատ․` 135 սմ:

Պյութագորասի թեորեմը

Ըստ Պյութագորասի թեորեմը

3² + 3² = x²
x² = 9 + 9
x² = 18
x = 3√2

10² = 6² + x²
x² = 100 – 36
x² = 64
x = 8

8² + x² = 10²
64 + x² = 100
x² = 36
x = 6

S = 6 · 10/2 = 30
S = 30

10² = 6² = x²
100 + 36 = x²
x² = 136
x = √136 = 2√34

30^o-ի դիմացի էջ = ներքնաձիգի
կեսին կամ ներքնաձիգը = 2 · a

(2a)² – a² = x²
4a² – a² = x²
x² = 3a²
x = a√3

Պյութագորասի թեորեմը

ա) C = √144 + 25 = √169 = 13
a = 5
b = 12
c = 13

S = 5 · 12/2 = 30

ա) S = C · h/2
30 = 13 · h/2
60 = 13h
h = 60/13 = 4 ամբողջ 8/13

բ) S = a · b/2 = 12 · 16/2 = 96
S = c · h/2
h = 2S/C = 2 · 96/20 = 9,6
h = 9,6

AB = BC = 10
AC = 12
AE = DC = ?
BK = ?

Δ AKB-ից
BK = √AB² – AK² = √100 – 36 = √64 = 8
BK = 8 սմ

S = 12 · 8/2 = 48
10 · h/2 = 48
96/10 = h
h = 9,6 = h₂

Պյութագորասի թեորեմը

Տնային աշխատանք․

ա) a = 12 c² = a² + b²
c = 13 b² = c² – a²
b = ?
b² = 13² – 12²
b² = 169 = 144
b² = 25
b = 5

բ) a = 9 c² = a² + b²
c = 15
b = ?

b² = c² – a²
b² = 225 – 9²
b² = 225 – 81
b² = 144
b = 12

գ) a = 2 c² = a² + b²
c = √5 b² = c² – a²
b = ?

b² = 5 – 2²
b² = 5 – 4
b = 1

դ) a = 6 c² = a² + b²
c = 2b b² = c² – a²
b = ?

b² = 4b² – 36
4b² – b² = 36
3b² = 36
b² = 12
b = √12 = √4 · 3 = 2√3

Տրված է հավասարասրուն եռանկյուն
ABC և AB = BC = 17
AC = 16
BD = ?

Դիտարկենք Δ ADB-ն
AD = AC : 2 = 16 : 2 = 8
BD2 = 289 – 64
BD = √225 – 15
BD = 15սմ

ա) Տրված է Δ ABC-ն հավասարակողմ է
AB = BC = AC = 6
BD = ?

AD = AC : 2 = 6 : 2 = 3
Δ ABD-ից AB² = AD² = BD²
36 = 9 + BD²
BD² = 36 – 9
BD² = 27
BD = √27 = 3 · √3

բ) Տրված է Δ ABC-ն հավասարակողմ եռանկյուն
Δ ABD-ից

BD = 4սմ
AB = ?

AB² = AD² = BD²
AD = AD/2
AB² = 16 + AB²
AB² = 64 + AB²

4AB² – AB² = 64
3AB² = 64
AB² = 64 : 3 = 64/3
AB = √64/3 = 8√3/3

Տնային աշխատանք – 13․04․2023

Խնդիր 360

b = 12սմ
P_h = 40սմ
Sլ = 592սմ²
c = ?

P = 2(a + b)
40 = 2(a + 12)
20 = a + 12
a = 8

Sh = 2a · b
Sh = 2 · 8 · 12 = 192

Sկ = S_լ – Sh = 592 – 192 = 400
S_լ : P = 400 : 40 = 10սմ
Պատ․` 10սմ:

Խնդիր 362

Sh = a · b = 6 · 4 = 24
Sh = 24մ²

Sկ = ac = 6 · 3 = 18
Sկ = 4 · 3 = 12.3

Sկ մ = 2(18 + 12) = 60
Sկ մ = 60մ²

Պատ․` 60մ²:

Խնդիր 364

քառակուսի սալիքնիրե չափսը 2դմ 5 = 0,2 մ

a = 20մ Sh = 20 · 10 = 200մ²
b = 10մ Sh = 2 · 10 = 20մ²
c = 2մ Sh = 2 · 20 = 40մ²
Sh = ?
2մկ = 2 · 20 = 40
2մկ = 2 · 40 = 80

սալիկի մակերեսը 0,04մ² 1 հատինը Սալիքների քանակը կլինի
(40 + 80 + 200) : 0,04 = 320 : 0,04 = 8000
Պատ․` 8000 սալիք:

Կրկնության խնդիրներ մակերեսների վերաբերյալ – 06.04.2023

Բոլոր գծագրերում հաշվել պատկերների մակերեսները,օգտվելով նշված տվյալներից։

2) Տրված է ABCD զուգահեռագիծը
AB = 6
BC = 8 սմ
<B = 150^o
___________
S = ?

S_ABCD = AD · BK
BK = 6/2 = 3 (30^o-ի դիմացի էջ)
S = 8 · 3 – 24 սմ²

3) Տրված է Δ ACB
<B = 45^o
__________
S = ?

S = AC · BC/2
BC = 4 որովհետև ուղղանկյան եռանկյուն ACB հավասարասրուն է <B = 45^o = <A նշանակում է BC = 4
S = AC · BC/2 = 4 · 4/2 = 16/2 = 8

4) Տրված է Δ ABC
<B = 100^o
<C = 50^o
AB = 9
AC = 12
__________
S = ?

S = AC · BK/2
Δ AKB-ից
BK = AB/2 (30^o-ի դիմացի անկյուն)
<B + <C + <A = 180^o
<A = 30^o

BK = 9/2 = 4,5
S = 12 · 4,5/2 = 6 · 4,5 = 27
S = 27

5) Տրված է Δ ABC
<A = 45^o
AH = 6
MC = 3
_________
S = ?

S = AC · BH/2
եթե <A = 45^o-ի և <AHB = 90^o
նշանակում է <ABH = 45^o և AH = BH = 6
AC = 6 + 3 = 9
S = 9 · 6/2 = 27
S = 27