Խորանարդ, ուղղանկյունանիստ

1․Խորանարդի ծավալը 125 է։

ա․Գտիր խորանարդի կողի երկարությունը։

V = 125
a = ?

a³ = V
a = ³√v = ³√125 = 5
a = 5

բ․Գտիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

S_լ = 6 _* a²
S_լ = 6 _* 25 = 150

գ․Գտիր խորանարդի կողմնային մակերույթի մակերեսը։

S_կ․մ = 4 _* 5² = 4 _* 25 = 100

2.Խորանարդի լրիվ մակերույթի մակերեսը 216 է։

ա․Գտնել խորանարդի կողի երկարությունը։

V = 216
—————
a = ?
S_լ = ?
b² = ?

a³√v = ³√216 = 6

բ ․Գտիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

S_լ = 6 _* a²
S_լ = 6 _* 36 = 216

գ․Գտիր խորանարդի կողմնային մակերույթի մակերեսը։

S_կ․մ = 4 _* 6² = 4 _* 36 = 144

3.Ուղղանկյունանիստի հիմքի կողերը 3 և 4 են, իսկ բարձրությունը՝ 6:

ա․Գտիր ուղղանկյունանիստի ծավալը:

V = 3 _* 4 _* 6 = 72

բ․Գտիր ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

S_լ․մ․մ = 2(3 _* 4 + 6 _* 3 + 6 _* 4) = 2(12 + 18 + 24) = 2 _* 54 = 108

4.Ուղղանկյունանիստի հիմքի կողերը  3 և 4 են, իսկ ծավալը՝ 60:

ա․Գտիր ուղղանկյունանիստի բարձրությունը։

V = 60
a = 3
b = 4
———
h = ?

V = a _* b _* h
h = V : a _* b
h = 60 : 3 _* 4 = 60 : 12 = 5
h = 5

բ․գտիր ուղղանկյունանիստի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

S_լ․մ․մ = 2(3 _* 4 + 3 _* 5 + 4 _* 5) = 2(12 + 15 + 20) = 2 _* 47 = 94

Տարածական պատկերներ

խորանարդը այն տարածական պատկերն է, որը կազմված է իրար հավասար 6 կառասուսիներից։

Անկյուն — 8 անկյուն = 90^o
Կողմ — 12 կող իրար հավասար
նիար — 6 իրար հավասար նիար

P = 12a V = S _* h
S₄ = 4a² V = a² _* a = a₃
S_n= 6a²

Ուղղանկյունանիստ

Անկյուն — 8 անկյուն = 90^o
Կողմ — 12 կող իրար հավասար
———————————————
4a, 4b, 4c

P = 4a + 4b + 4c
S4 = 2 _* bc + 2ac
S_n = 26c + 26ac + 26ab

V = 5 _* h = ab _* c

Ներգծած և արտագծած շրջանագծի հավասարում

r = S/P : 2 r = 5, P = 26
S = A _* B / 2 S = P _* r = 26 _* 5 = 130 կամ S = 13 _* 5 = 65
P = A + B + C

S = 45 r = S/P : 2 = 45/18 : 2 = 45/9 = 5
P = 18
______
r = ?

P = 27 + 15 = 42 r = 42/42 : 2 = 42/21 = 2
S = 42
_________
r = ?

Բազմանկյան մակերես

a:b = 5:12 c² = a² + b²
r = 4 a = 5x
————— b = 12x
a = ? c² = (5x)² + (12x)²
b = ? c² = 25x² + 144x²
c = ? c² = 169x²
c = 13

r = S/P
S = a _* b / 2
P = a + b + c

S = 5x _* 12x / 2
P = 5x + 12x + 13x = 30x
P = 30x / 2 = 15x
r = 30x² / 15x
S = 60x / 2 = 30x
4 = 30x² / 15x
4 = 2x
2x = 4 a = 5x; b = 12x; c = 13x;
x = 2 a = 10; b = 24; c = 26:

P = 12 a + b = P – c ???
r = 1 c = P – (a + b)
———— r = 1/2 (a + b – c)
a + b = ? r = 1/2 ((a + b) -(P – (a + b))

1 = 1/2 ((a + b) – 12 + (a + b))
2 = ((a + b) – 12 + (a + b))
2(a + b) = 2 + 12
2(a + b) = 14
a + b = 14 : 2
a + b = 7

a:b = 3:4
մեկ մասը նշ x-վ
a = 3x
b = 4x
(3x)² + (4x)² = 625
9x² + 16x² = 625
25x² = 625
x² = 25 a = 3x; b = 4x
x = 5 a = 15 b = 20

r = S/P
S = a _* b / 2
P = a + b + c

S = 15 _* 20 / 2 = 150
P = 15 + 20 + 25 = 60
r = 150/60 = 2,5

c = 20 P = a + b + 20
r = 2 a² + b² = c²
———— a² + b² = 40

a + b = ? r = 1/2 (a + b – c)
2 = 1/2 (a + b – 20)
r = S/P 4 = a + b – 20
S = a _* b / 2 a + b = 24
P = a + b + c

P = 15
r = 1
————
c = ?

r = S/P

r = 1/2 _* (a + b – c)
a + b = P – c

r = 1/2 _* (p – c – c)
1 = 1/2 _* (15 – c – c)
2 = 15 – 2c
2c = 15 – 2
2c = 13
c = 6,5

r = 4
c = 26
————
P = ?

r = 1/2 _* (a + b – c)
4 = 1/2 _* (a + b – c)
8 = a + b – 26
a + b = 34
P = a + b + c
P = 34 + 26 = 60

a = 40
b = 42
———— r = 1/2 _* (a + b – c)
r = ? c² = a² + b²

c² = 1600 + 1764 = 3364
c = 58
r = 1/2 _* (40 + 42 – 58)
r = 1/2 _* 24
r = 12

Առնչություններ եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև

ա) AB = 6√8 սմ, AC = 4 սմ, <A = 60^o։

S = 1/2 _* AB _* AC _* sin60^o
S = 1/2 * 6√8 _* 4 _* √3/2 = 6√24 = 12√6

բ) BC = 3սմ, AB = 18√2 սմ, <B = 45^o

S = 1/2 _* AB _* AC _* sin45^o
S = 1/2 _* 18√2 _* 3 _* √2/2
S = 27

գ) S = 1/2 _* AB _* AC _* sin30^o
60 = 1/2 _* AB _* 15 _* 1/2
AB = 60 _* 2 _* 2/15 = 240/15 = 16 սմ

S = 1/2 _* AB _* BC _* sin150^o
sin150^o = cos60^o

S = 1/2 _* 2 – 2 _* 1/8 = 1

S = 1/2 _* AB _* AC _* sin120^o
S = 1/2 _* 6 _* AC _* √3/2
6√3 = 6√3/3 _* 2/√3 = 4

Նման եռանկյուններ

S₁ = 20
S₂ = 5

S₁ / S₂ = 20/5 = 4 = 2²
K = 2

AB/A₁B₁ = 24/6 = 4
K = 4
S₁ = 160
S₂ = ?

S₂ = 160/16 = 10

AB = 5 _* A₁B₁
AB : A₁B₁ = 5

S₁ / S₂ = 5² = 25

AB = 18
AC = 12
————
BD / DC = ?

AB / AC = BD / DC
18/12 = BD/DC
BD/DC = 3/2

BD/AB = DC/AC
AB _* DC = BD _* AC
18 _* DC = 12 _* BD

BK = 3
KC = 9
————
AB / AC = ?

BK / AB = KC / AC
3/AB = 9/AC
9AB = 3AC
9/3 = AB/AC = 3

x/15 = 24 – x/30
30x = 360 – 15x
30x + 15x = 360
45x = 360
x = 360 : 45
x = 8
BK = 8
KC = 24 – 8 = 16

ABC ~ /\ A₁B₁C₁
K = 4
P_ABC / P_A1B1C1 = K
P_ABC / 26 = 4
P_ABC = 4 _* 26 = 104
P_ABC = 104

P₁ = 28
P₂ = 7
———
K = ?

P₁ / P₂ = K
28/7 = 4
K = 4

AB = 32 AB / A₁B₁ = 32/8 = 4 = K
A₁B₁ = 8 K = 4
P₁ = 120
———— P₁ / P₂ = 4
P₂ = ? P₂ = P₁ / 4 = 120/4 = 30

A₁B₁ = AB/6, AB = 6 _* A₁B₁
P₁ / P₂ = AB / A₁B₁ = 6 _* A₁B₁ / A₁B₁ = 6
P₁ / P₂ = 6

նման եռանկյունների հայտանիշներ, հատկություններ

ա) Տրված է ABC-ն, BD կիսորդով։
BC = 9սմ
AD = 7,5սմ
DC = 4,5սմ
——————
AB = ?
x/7,5 = 9/4,5
x = (7,5 _* 9)/4,5 = 15

բ) Տրված է ABC-ն, BD կիսորդով։
AB = 30սմ
AD = 20սմ
BD = 16սմ
<BDC = <C
——————
DC = ?
Քանի որ <BDC = <C նշանակում է Δ BDC հավասարասրում եռանկյուն։
BD = BC = 16սմ

30/20 = 16/DC
DC = 16 _* 20/30 = 32/3 = 10 ամ․ 2/3

Տրված է ABC-ն, AD կիսորդով։
AB = 14սմ
BC = 20սմ
AC = 21սմ
——————
BD = ?
DC = ?
(20 – x)/14 = x/21
14 _* x = 420 – 21x
14x + 21x = 420
35x = 420
x = 12
20 – 12 = 8
Պատ․՝ BD = 8սմ, DC = 12սմ:

նման եռանկյունների հայտանիշներ, հատկություններ

ա) h = a _* b / c
h = √a_{c *} b_c = √25 _* 16 = 5 _* 4 = 20
b = √h² + b_c² = √400 + 625 = √1025 + √25 _* 41 = 5√41
a = √a_c² + h² = √256 + 400 = √656 = √16 _* 41 = 4√41

բ)

a : b = 3 : 4
c = 50մմ
————
m = ?
n = ?

I մասը նշ․ x
a = 3x
b = 4x

(3x)² + (4x)² = 2500 a = 3 _* 10 = 30մմ
9x³ + 16x³ = 2500 a = 4 _* 10 = 40մմ
25x³ = 2500
x² = 100 c = m + n
x = 10 50 = m + n
m = 50 – n
h² = a² – m²
h² = b² – n²
a² – (50 – n) = b² – n²
a² – 2500 + 100n – n² = b² – n²
100n + 900 – 2500 – 1600 = 0
100n = 2500 + 1600 – 900
100n = 4100 – 900
100n = 3200
n = 32
m = 50 – n = 50 – 32 = 18

n = 32մմ
m = 18մմ

m = n + 11
a : b = 6 :
—————
c = ?

c = m + n
c = n + 11 + n = 2n + 11
1 մասը նշ․ x
a = 6x
b = 5x
c² = a² + b²
(2n + 11)² = 36x² + 25x²
———————————
4n² + 44n + 121 = 61x²

a = 12
b = 5
c = 13
———
m = ?
n = ?

a² = h² + m²
m = 13 – n
h² = b² – n²
b² – n² = a² – 169 + 26n – n²
25 – n² = 144 – 169 + 26n – n²
26n = 25 – 144 + 169
26n = 50
n = 1 24/26 = 1 12/13
m = 13 – n = 13 – 1 12/13 = 11 1/13

նման եռանկյունների հայտանիշները

EF = ?
FC = ?
ա) DE = 8սմ
EC = 4սմ
BC = 7սմ
AE = 10սմ
Դիտարկենք Δ ABF և ECF որոնք նման <F-ը ընդհանուր է <B = <C
AB || EC, BF-ը հատողն է
AB/EC = BF/CF

AE/EF = DB/EC
10/EF = 8/EC
10/EF = 8/4
EF = 40/8 = 5
EF = 5

Δ ADE և Δ FCE
AD/CF = DE/EC
7/CF = 8/4
CF = 7 – 4/8 = 3,5
CF = 3,5

AB = 15սմ
AC = 20սմ
AD = 8սմ
AE = 6սմ


AC/AB = AD/AE
20/15 = 8/6
20 _* 6 = 15 _* 8
120 = 120 նման է․

<A = <D = 90^o
<C = 40^o
ա) <F = 50^o
նման են

քանի որ <C = 40^o ուրեմն <B = 50^o
ա) <F = 50^o ուրեմն <E = 40^o նշանակում է նման են․ այո

Եռանկյունների նմանության հայտանիշները

AN/RK = NR/EK
8/6 = 12/x
8x = 6 _* 12
8x = 72
x = 9

<A = <E <C նման է։
Δ ABC նման Δ EOC
28/8 = 7/2
BC = 10 _* 3,5 = 35
y² + 28 = 35²
1225 – 784 = 441 = 21²
y = 21
AB = 21

Δ ABC նման Δ DEF
x = 3,2/2 = 1,6
6/2 = 3,3/ED = 3
x + 3,2/x = 3
ED = 9,9
x + 3,2 = 3
-2 = -3,2